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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Xnm9<)  
h;,6f^4cc,  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. \!joM? c  
\tW@op  
　　1、三角函数本质： ~gcI*^FV  
h1,5Z9;m  
　　三角函数的本质来源于定义 9O1<L"h  
!!g 2P7  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 t G2R:P0  
twZ. xTQZ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 f# 6-[!6*  
jk'.1r5;  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,e ][ag  
->-FY  
　　推导： T0$v_w9'  
Qbwx(\D  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >6 .9)k'\  
Te=[&-[U  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 1?n^>Gox  
V%-y6K6~  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &TwutPj  
|ONavG~s=  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 !R])f"~|  
QH>8W  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） OW5~Adn:  
4 J7RRGR  
　　[1] !(y;g'  
5g1KJN@B[l  
　　两角和公式 P#? Og5M}>  
#3_%6FRf  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Erp%VSjf`7  
wpBOTgeh  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  H.MceqE  
jtk^\#{4.  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB j6somg  
/@|0*G>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zL U.\P0  
y7Kn ,}>2  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f>> O :E}  
$=@Nd^F6[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) C>/> MC  
x~5un8 ]*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  &efTJ1Eg$  
 K5zS,R Z  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) L`{-rm%  
]QA-[ t v  
倍角公式 12 ;sl  
0h!MWj83  
　　Sin2A=2SinA•CosA h:K%H/Rzs  
@Tnmm'l.l  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,Q_Q=Com  
1@\bn`aZC  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） DbIo 3Sj2l  
"7Gn5`TB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） S7'5]ST<n  
>" Vf(ep  
三倍角公式 ,L=I!E9.  
,e:uy7  
　　  {a[`$F  
3XK7``(4l  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) S8WWEoF  
(wv$S*4d:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tC{#CddSW  
yq qTxq  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k tyZt  
{7]=ws"Kw  
三倍角公式推导 q-?EIVt=  
HbXl.1CUOX  
　　sin3a Br0>@8  
;~9=wd;O  
　　=sin(2a+a) ww{A OF  
56 'n:0  
　　=sin2acosa+cos2asina F*xz9$7oU  
B5qvA=&  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ) %B3e9  
TD //LC_  
　　=3sina-4sin³a oNHv a]q4e  
t{4lC0pT,B  
　　cos3a @ N#ZKN4h  
I,#9sD3#  
　　=cos(2a+a) D>S+Ph  
o"(n )2R  
　　=cos2acosa-sin2asina sL1YBW+/  
jkwcpEf  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa r-]hPd2  
CqQs96q  
　　=4cos³a-3cosa UIV\_;FW  
nY %f]  
　　sin3a=3sina-4sin³a .)X^*&Oo1  
[JlYaa  
　　=4sina(3/4-sin²a) O57V2+p  
?tPIsbCs  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 7^c-QY!  
/TuJ9N@IW  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 0bZJu1tq  
3ocOVN(  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 6 hQW~\!  
`o^#*Xn9S  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] . C{N}tl>q  
BY& ]*v ]  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) s~AZ`{"gx  
4w25:j{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 5d&=^~vG?  
vZcG3?v  
　　=4cosa(cos²a-3/4) a]FCmM>~2H  
#QlQ%g  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;[>7fi o  
eElX4DE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \E]'Og)0;  
i$,7;[L|  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) gq""]JaF  
o'spdi{  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 7yK)*H  
BG!;piV  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 6(+8lv^_  
q0?3(2z~  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O>rv1rZ *  
|O3g=if4  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ~f{U"STL  
n9V~M/",  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) =(zMWu8S=  
0d#y#Ws&?  
　　上述两式相比可得 50 V]Rlq  
5rrYd+=TT9  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ONZ9Puy|nA  
=>@t4CF6@  
半角公式 ruI=,<]  
wI/>rF7=  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); yQ @D5\/  
j`ipFo6^|  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. *LAJ(k$_  
YmVu  
和差化积 .\3F:{X`  
d"4`b9Z}  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }q`B8' '  
!'-{h#gB  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] v"W5u\  
E6&)H5TcR  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1Jy7gI  
V?hm)jg  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9Q~Qx69*  
vvS"mF)  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) &4? rz9J  
~^EAW?A  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5O:8=+b  
%aYL e}  
积化和差 `n o 7  
WlxpPN  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] UH,#Zq}  
;U`~ATb  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] u cCe/   
${T g!#8{  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] PKw<\*=F  
p!mZ6w)2T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] xZ{X91<  
E2qIsbRJ2F  
诱导公式 ("Zkc#pT  
:82=CFf~}  
　　sin(-α) = -sinα kfsaiN$  
vJ/{  
　　cos(-α) = cosα )H7s7D'  
z\>M9  
　　sin(π/2-α) = cosα gI]VeWt  
]InQs!>5  
　　cos(π/2-α) = sinα 1AP]-b:n0  
6&@w?#vu  
　　sin(π/2+α) = cosα  pD\eP  
\NO<(K0=  
　　cos(π/2+α) = -sinα +9O}{7Bh]  
LAE%{  
　　sin(π-α) = sinα ]}LW0N(cy  
MwU|4rmp  
　　cos(π-α) = -cosα 0o-~ 7Yn</  
Ff Y. k  
　　sin(π+α) = -sinα jbcJC w!?h  
,Z4O!FIs  
　　cos(π+α) = -cosα rlV[l<  
AVEsi3q  
　　tanA= sinA/cosA [BCCnDX+~  
)uRp])@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα >|QFn<A|  
dE\eQ]HZ'l  
　　tan（π/2－α）＝cotα *3l (>q U  
<htF#U'E  
　　tan（π－α）＝－tanα Vd/5*- F  
bqP!suQu  
　　tan（π＋α）＝tanα X! SD  
g.;bdm   
万能公式 UCB sS2A  
ha'\xC Nq  
　　 PI4C,4]va  
c-^%KOu  
其它公式 p MNx`lD  
;#8:k42>  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ?"qd{ C  
HA|G op  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ][Xj &o  
Fwl#Wh%5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 wbs36 b^lT  
|&c;\$[$3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 uLFA{B  
l+?~"+r=  
　　对于任意非直角三角形,总有 W? x0IF  
UF9~97|2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tB%ex7m  
dMBJw%}k  
　　证: (Dp /T}ng2  
s2)m *Ti  
　　A+B=π-C <UE` !;/  
+AcTcT  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ? E/v>|&<  
}StPe'm.z  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) /a>ND .2  
c !q'F5he  
　　整理可得 *>x8,Xz  
Kd5>  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 5PznII  
n*\(6#C"7  
　　得证 h15-|I*U$o  
Kg(vYP#O&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 m._kEMA*  
;| gb;[Z  
其他非重点三角函数 Rh}+6jg)  
:ux?8YRw  
　　csc(a) = 1/sin(a) sr*6RlzN  
Q@sZ e\  
　　sec(a) = 1/cos(a) ~(L B+B  
#uY;Jn  
　　 I!l[adH  
-9z~pe7  
双曲函数 w)*0@"YpL  
]HnV5];ea  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,H^]l@  
U|>RT(lg  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 >?(COn,  
}= .L.ksq  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) {Uh|dZq  
$$ zKts  
　　公式一： ~bG9|f#tt  
hd 1kvy%E  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ]mw-h`QB  
vN:G-Bi  
　　sin（2kπ＋α）= sinα pltL71  
N+>v& 7l%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 7eM },  
K>y:lYmTE  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4Js* ?C#  
%Y _xw`  
　　cot（kπ＋α）= cotα $p\;G20~Fr  
{ ^[}b  
　　公式二： 'B4%Q5[  
Nm^K`<y  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： \[i@5<n  
,F.@Be UN  
　　sin（π＋α）= -sinα \ {Fxn>1^  
+4{-zaa\m  
　　cos（π＋α）= -cosα xf}  
UnGBthOp  
　　tan（π＋α）= tanα GvuY!9?Q  
!PSgia  
　　cot（π＋α）= cotα i<GW68\mB  
P8Ya|NQlv  
　　公式三： +eMpay/;  
PI&NQiW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ! XJ"k$\u[  
q~]Iy7hLPM  
　　sin（-α）= -sinα iEc2r  
Hb6#%3<61  
　　cos（-α）= cosα lx'MdT\x  
4lNIuP  
　　tan（-α）= -tanα =Jj E!]3  
I `UsmK6  
　　cot（-α）= -cotα A*hB1krX  
=A*V.S {P  
　　公式四： '~ cRWC  
D^.d3^?Xw  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： K}&e2`]I  
n>"[prG'  
　　sin（π-α）= sinα GsS6B  
w8?kKaL  
　　cos（π-α）= -cosα #1/,rqo{  
3h' ^Y^  
　　tan（π-α）= -tanα 7j{@)Y  
J{3bYBG@J  
　　cot（π-α）= -cotα oMc&KSm!*  
{40qex"+  
　　公式五： @:}+lg d  
P=JiLSr-  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }k&"(!'r  
/e?.$V  
　　sin（2π-α）= -sinα q53~@<J;  
f#&wBQz@j6  
　　cos（2π-α）= cosα e61@<,  
8kHNI794O  
　　tan（2π-α）= -tanα j j <I8%b  
q_k(nE!  
　　cot（2π-α）= -cotα ^y]M|!Hv]  
}Z~DbDAhdL  
　　公式六： `p<Gpe^tqw  
*Q >J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： JCf}`JaL  
>18?6`(W  
　　sin（π/2+α）= cosα eP@H@:^dX  
@Fa$C[  
　　cos（π/2+α）= -sinα `DE\ D  
B6q%X#L p  
　　tan（π/2+α）= -cotα <-R5Lu,^zC  
}k'd#B  
　　cot（π/2+α）= -tanα {2 B?6;   
'acMsA+_  
　　sin（π/2-α）= cosα `k7V?dR@3|  
w!`tIh  
　　cos（π/2-α）= sinα i$)@U pZC  
m!CzX  
　　tan（π/2-α）= cotα n{pM'v4:0  
gw{.#R,  
　　cot（π/2-α）= tanα / mIG)wL@  
]rhMp%1?'i  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 3M=w+  
@^) <8D4[  
　　cos（3π/2+α）= sinα -.& c  
#;hZn|i?3  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^Yi^[?Ew~  
l5J%Ld!  
　　cot（3π/2+α）= -tanα '0JagcvtV  
rGqG9BU /  
　　sin（3π/2-α）= -cosα C7 7dq!T?  
tna* _amA  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @A"?F%c@  
ozRF'& v  
　　tan（3π/2-α）= cotα r3*dvPND  
!WPvmT?"I  
　　cot（3π/2-α）= tanα BAt:OMQ  
[$/n=<=j  
　　(以上k∈Z)  t1pmXn>  
Kz?/f 'VcN  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 kQXRDcb  
Y,/-LV[Jh'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = T&9)c2x  
S>}8%S  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Ash>DjV_v  
N=O />+/|.  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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