日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 |j^ yB  
%nglS[&D7  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. b#,>[5   
>&-${U6  
　　1、三角函数本质： DyWYW>^ S  
e8 )=D#  
　　三角函数的本质来源于定义 P)ho+%U%)G  
'K0^^Qwo  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 A>5OrQ*%  
5k/(K ;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ktN `c}/y  
%"#>uj?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9gI v:!P  
0%zU  
　　推导： w{JXa6-  
'x+]mp  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  K[!.)T  
_EC4]cm  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^%`S0U  
,v:?u /(  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Nb&^#5e;  
Vtw#V6@<|`  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (e[4WTj  
d'LUg<C%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ?T,qR}-  
bU@KkZ  
　　[1] j 8nAp99  
%'WZGV ve  
　　两角和公式 &J+3]XE  
_ LOWwT&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \o9J67M!j  
6H0TiR{U  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Cf|:CKDe  
eThKKyI@  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB rt%$c7u  
D%LOJrYa  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB )|m?LvKt  
- ZYx;-   
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) myD6*]Y  
[f waU  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) V8y>([l"  
Tu\/hu  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }q gB[]jgo  
E:[qr6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) DMhO[yg&]0  
- Gq,9I  
倍角公式 HJIcf!WC  
|+`(cyb  
　　Sin2A=2SinA•CosA hOe rvQ  
1)KT@9`3  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &@'wW'.h  
"X_ibebv  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） g 2 =1`<t>  
N_<l8=2n  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /'NW]#sg  
kdZnt_  
三倍角公式 _<NK5hO,  
F)g^-gT"  
　　 4%#dHs%a~(  
}Mg.%O?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Qi-nZ7  
mD5,!|   
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) iZq_ bvY  
kB# AfJUQ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) );vZI"M^x  
RSnrV%+  
三倍角公式推导 d6]#XQAC  
|]ra?sb  
　　sin3a #{XnZh6L5  
_ZxN1l  
　　=sin(2a+a) #PRP24  
i/~Z?Q#  
　　=sin2acosa+cos2asina <i/,w+  
';T|Y|yh  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina hz]?)*$VH  
6ZCNRYQ97L  
　　=3sina-4sin³a thu +  
Z}1eM$kbf  
　　cos3a |Og 7R,?  
<Yh:!Z  
　　=cos(2a+a) FtCIE`  
j'4=iX"E  
　　=cos2acosa-sin2asina ;Q0fk,Io  
U/, }.bp  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa C@KdSaO9  
.nV;kk  
　　=4cos³a-3cosa ]3ZC9>(  
:9x Sd}W  
　　sin3a=3sina-4sin³a '2^o.Us}  
VrYumu5  
　　=4sina(3/4-sin²a) p.J r<UFN  
(!vQGY])  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `1:Z"L  
N;waDm  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) (bVskKE=  
qKu$c  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) B?f8tt%3  
O>{S*DF  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] F^ Jw$5f  
%FmN NfF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0$yg6und  
<h`~iM_lQ  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )KWXM6W#R  
W\--rHI]  
　　=4cosa(cos²a-3/4) s4 eNk0T  
0 _>2T{  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cXMe, s  
IL_O4a  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %ohF%J +  
-ldnpS_  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ].J2RNs@  
!D]b>[odZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} cnzgBz  
om-&Dd ~  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) +=Eb-Op7^  
HBfs=  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <+w.b&^;  
-j'2RG8Z q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1St|Y{tS  
uP/8Q/w@J~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `[$uLx  
g1gCQ:8.3  
　　上述两式相比可得 AJu(_Ev  
\{ I''WV  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |6ie'J?(5  
+^hoIBv a  
半角公式 w@C_u Pr  
"fk='*#  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ^Ka-|)y*  
0OG"])  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. R%e|L$bC ;  
J!@9JC }  
和差化积  =z6OC0k  
VDU=91Ze  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M>M*kDF  
5/P%<8e<a  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] UBIk@)]}1  
.Z(85><]  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] VT;c4,.5  
%|x o SS  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cXeM 5{  
:Eb9T:A,  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) AzAkO~U  
G}qm4LB  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hV7yE|t!  
"kJhuHI  
积化和差 |u6#}DLp  
R>&BHVV*m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] TLD3om  
O[|8c?Ak   
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] *s|Q n/gH  
0C}t|Cz_BL  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >] i%  
lkk&Y0,S:  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] .*+}*Cy  
r%A\){0i  
诱导公式 n/TDM*S[  
)hhJ1#_O  
　　sin(-α) = -sinα _m)oLcY@  
g%slAp:>mK  
　　cos(-α) = cosα &\Yp85'|  
Oh&Ff@0 L|  
　　sin(π/2-α) = cosα GD2>=JO!  
DH)bhO  
　　cos(π/2-α) = sinα t* 1c`,loE  
*hMNf68dq  
　　sin(π/2+α) = cosα E#~: 2X3=  
|{QY9wa  
　　cos(π/2+α) = -sinα %-5FzFkQ  
`:34~I^  
　　sin(π-α) = sinα aa&C9> M  
9a%wnkr\F  
　　cos(π-α) = -cosα Cssn_G~/m  
b*cQ2r8  
　　sin(π+α) = -sinα 7 6<5x-  
$9rgt<=[.  
　　cos(π+α) = -cosα e8AJbW  
,kS_d=2;K  
　　tanA= sinA/cosA -bt]1^R~  
[6wTM|  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ^W"%IXrho/  
WJLA m"  
　　tan（π/2－α）＝cotα G,W]**j  
V;F 2&i  
　　tan（π－α）＝－tanα {c[e,"l.!  
eY,r0W@1  
　　tan（π＋α）＝tanα t.L),&lzq2  
<QO3wZ  
万能公式 418O.mfv  
Bt.U2oIk  
　　 `_o+4Z@v3  
2~B, 1ENE  
其它公式 ?k*q"#\Ob  
;u]`6q(*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 x|c9_eM  
]7{bo/  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 >Ry`Q~P,  
mY?kALMh<  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 o)[xk7  
rSS)Sn  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 8@M%X di  
Po_Q 0;  
　　对于任意非直角三角形,总有 K;V}[<Z7  
]3 )GqX+8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {KRXO0   
c h]/gb`P*  
　　证: rUQK .\7W  
u}rXa1z  
　　A+B=π-C uMJ \se~  
9n+[H]A|0m  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Z:[z?V  
FX [SU53 >  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &KA}w~IcIR  
7He9d9  
　　整理可得 ECp76M`  
=rQ6\P+|  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC &t[LJGw/P  
q7|o cp  
　　得证 Bigj'Q 9FL  
3$ozHJJ'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 -odNF,  
&b}[j  
其他非重点三角函数 2us04;Q  
A1Xkv: X  
　　csc(a) = 1/sin(a) p$ o`4lBY  
gK6]SME  
　　sec(a) = 1/cos(a) bIdh'1"}C  
oZLR{zm  
　　 /.zOb3/?_  
m_'2ft(atf  
双曲函数 <y?<[Bu@  
6|gH~c0|J  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 zI[T#.8J4  
y|-} A=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 |zbf9|  
5FBYPAW5  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2 6UN|@  
R{ jQH}  
　　公式一： m8K4F9#8  
D`idJKS8  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f0 :HzK3[  
Km"!c\q]  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  BGiM  
+Q~\Ak|d  
　　cos（2kπ＋α）= cosα kQ2asW  
8t[) p6  
　　tan（kπ＋α）= tanα k_{I*0  
7 yo&S^  
　　cot（kπ＋α）= cotα @f !J'a  
a_,4|0*?FL  
　　公式二： a#>5Ssw=  
m8BS _"[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： T=)*cW .A  
wXeT $c  
　　sin（π＋α）= -sinα |T(+X,[  
8__#|bC3&/  
　　cos（π＋α）= -cosα (k'i"  
k=StxKTo  
　　tan（π＋α）= tanα {;'D=J  
^gcS4_ JqZ  
　　cot（π＋α）= cotα ["VMPg  
f&Dm#X2  
　　公式三： Ri#kC4z#  
j!MXDz24  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： b?[Pw+eEbb  
<84$Bba2  
　　sin（-α）= -sinα zYsJ9NHV  
Gtbn}I5  
　　cos（-α）= cosα P^<$xE2  
8">UT{p  
　　tan（-α）= -tanα d ]^?8r  
^>R|6^5=  
　　cot（-α）= -cotα N4*@:S$ B  
o<on)su:M  
　　公式四： 5,!4PhO^x  
E@MIFM <  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： dos\WbX-p  
S6#x'  
　　sin（π-α）= sinα %`IV@Tb>  
qfpNrH8'n  
　　cos（π-α）= -cosα br3Qn[I  
,Tn+)2b6  
　　tan（π-α）= -tanα 4K?S{&"I  
RX8 ,ajam  
　　cot（π-α）= -cotα fR9Aj .\cx  
$t(O4As7m  
　　公式五： R3pJFy kVu  
,;chwJ2>h  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %c%ei<9:m  
x+GU,./  
　　sin（2π-α）= -sinα 9aqhf?  
prB:,;  
　　cos（2π-α）= cosα %a>Ri:@  
7yz&#"R  
　　tan（2π-α）= -tanα W9SPe8  
a!(IKlqiB\  
　　cot（2π-α）= -cotα ^((6Ct  
5i9R"&a7P  
　　公式六： pa@&A^RU  
4b|@Ka \^  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： -Wqr2dC"  
Y/]:C '%K  
　　sin（π/2+α）= cosα * q*{B53  
={Y3`%c   
　　cos（π/2+α）= -sinα @/wzesu:-  
^2ag })zZ  
　　tan（π/2+α）= -cotα cNuX9IX  
;G Fu;D6  
　　cot（π/2+α）= -tanα y6.J ?I  
[<8`h~$  
　　sin（π/2-α）= cosα VM5&w,'  
,O\\`GyK  
　　cos（π/2-α）= sinα O8D2X  
1UHvp E  
　　tan（π/2-α）= cotα M$f`flRE  
gV*h0p-[)  
　　cot（π/2-α）= tanα Qq=fO(V1  
Is2xJ@zk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ZFrK5N p  
:O^)7:4~M  
　　cos（3π/2+α）= sinα .?9 CjBL  
[^_VJ B  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  N4`PN5  
/t'+ n\=c  
　　cot（3π/2+α）= -tanα nLvR 1PA  
+z2 g@+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα yex; S1  
H)(C:Rp z  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 0 6r H s  
bn~@5X/W  
　　tan（3π/2-α）= cotα "a\*j>PQ  
v3',f4G{u  
　　cot（3π/2-α）= tanα r]70^C8F  
YFs/\bIY  
　　(以上k∈Z) ]2Zc|5pK*  
put|My<4  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 L6)0Mo.0V  
2.bk;Zk.  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = %^7tffAR  
KS&P(#P,  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } MZgaq0JR  
%B\Lnc7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16317) |  收藏