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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 KIe<&TxWV  
9^5<Q  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Q*PH>+  
3fRkYuQb]  
　　1、三角函数本质： X|im)7  
soGjTc;  
　　三角函数的本质来源于定义 _ @;!WMnR  
B&|=>Xbcg<  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Cs2D6~>U  
% %R))77  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ePc8H*UnX  
>!YkS_H  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ]-H-& @  
yJD$Bly  
　　推导： ]VxQ@bz  
{21Y_*Mo:  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 x Y263eUq  
(PS5{xek  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <'Aox`  
)|_V^wS/  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R7E2^e  
wkHk>Qg  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 } ,sG  
P;l$6 bkE  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） l<HL .F>  
n9cK,X"  
　　[1] -L&mpm.  
t_( j]^  
　　两角和公式 U/\SfUu  
#_B1i2>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Cxc ,JK(  
@WXO-Q  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  _X3*R@DD  
N/FR<&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R?E M5  
[uLZq%C:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB OMXG}w!  
IXc|j{4YI  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) nzaOJe\  
e)qe'9  y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ^ nxpP:!VU  
$a_*m5''f  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  i85\^I8Q  
1R*/Y5  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) (9m^;  
e'"#X7  
倍角公式 UU?H%m~K  
jRZ%ZF>  
　　Sin2A=2SinA•CosA KK(#H  
Jr{4z9q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 wbZ6aP%   
Y>sut:f  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） w< *a#xIN  
r(>92c  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） n%}7-v {/  
ZUf ]Z\>  
三倍角公式 )]mazOe}z  
p3E;zq3p  
　　 /[,.8Ed@  
9Yaqb{}  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) # nucPn  
"6*Se4", P  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K_}s/Fh  
\'\*AZsS:  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) vo[$/b7  
/qUiNIa"M  
三倍角公式推导 |{R[Vq  
)SA@p*1x  
　　sin3a 8 Mh!v  
\9J~S.F  
　　=sin(2a+a) 0%_N?1  
|LBW _xa  
　　=sin2acosa+cos2asina sN 7-cQ\  
~'^)_y`P  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina '~hYF&  
gg=||sz  
　　=3sina-4sin³a .1A o#\  
vAr:3hP(  
　　cos3a n wY`<"k  
/}Eo^+$  
　　=cos(2a+a) 1KpYN?-d1  
t^:./GB  
　　=cos2acosa-sin2asina S9l2e UY  
,F;y$ru4  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa {iEw{|Lp  
,q;DVs  
　　=4cos³a-3cosa lP65nI}N H  
WMq`as\  
　　sin3a=3sina-4sin³a O8EJXz?G  
{ITguO1^  
　　=4sina(3/4-sin²a) cd)Wg^4  
5p#,>JgvH  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] q+]t`K J  
\Y,Q[*Fy  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) [cxZ{bC}  
O-5).Nw0T  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) h8bxVGOiy(  
taL/sE  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 3<uw@= t  
Lw@&;bm  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) c E8KEe&  
7< S|$z'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa R5q GBR  
uET!pJW  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ybqBG  
&R&a=|  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4%St><_x  
(o_[)=A4O|  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) QDW]s7wA74  
X -Ao[I  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 3HC/!Z(O;  
~z3 Y5`  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} F&'x"rK  
?(m>Z"s0|  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) QP] 9V  
#'g><pw  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] @r&fMXMJM  
ucCrX}?  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Z@'7=.8Jg  
(g&xl=H^p  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `S7L{8}W  
Y>@{ ~(  
　　上述两式相比可得 %(29+O  
sG!g#SSAS"  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 8,?[=GV  
I -U) &o  
半角公式 }i"RMit  
yeA_U [qH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ntg6@^9}L  
0a!Ce?r7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. _{)~wjXU  
C =aYD@  
和差化积 cF%_lLHd~  
I&~92  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] .:Y4p ;n#  
T=Bs##fZ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4&0"1eB  
n ~k,@$  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :C,;,lrS  
g:'}4`J{  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !Bjzj  
L<x8~_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;<-UA;0e  
P: 9+@UNS{  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) [k\7A/D6  
;5tA"dMd  
积化和差 u oKxqq  
(Hvr-,Hr4  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] t m\59w<)  
`gZ;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] s[Y]H5p-  
s )vqT+=Y8  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] x'vP6h.oh  
?rL| |UKR4  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] gLm0V_  
B56s0QG6[  
诱导公式 VzbNJWM%n  
b@_=KyRh  
　　sin(-α) = -sinα ~%wn L'$  
!|h jzT]  
　　cos(-α) = cosα 'X05I4_70~  
^ _JA7:  
　　sin(π/2-α) = cosα tMcf >T<p!  
o  za1U{  
　　cos(π/2-α) = sinα EMwdW0   
edjG='YMz  
　　sin(π/2+α) = cosα DMSWi4@+kX  
OPny/  
　　cos(π/2+α) = -sinα yx. YG&  
fwTBU~$vc  
　　sin(π-α) = sinα ry,I#+|zQ  
Y\ioF 'XK  
　　cos(π-α) = -cosα Z.,9^3  
z-%?/CW  
　　sin(π+α) = -sinα T-98/ c~  
kq]r% 'o0  
　　cos(π+α) = -cosα [=RFy5\3  
p.=5on J  
　　tanA= sinA/cosA UV@UzK`]  
h;zrzXfkg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα xEt $)$  
P.&+8o  
　　tan（π/2－α）＝cotα )>c-zS- +  
}h'0k"HM  
　　tan（π－α）＝－tanα Sav[^-[?\  
ilVmzV+KV  
　　tan（π＋α）＝tanα aJB9 5Vf  
 hS g  
万能公式 <Ft15RP!t  
f4p:<,  
　　 &qH]j|'!  
}FIH;I  
其它公式 srln-Z~  
2o C^jE@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 bQS7ZdqV  
2I|b*  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 J<TfS;R[@/  
-X ,})'RF  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :/$FX6;5V  
w %Eu 5T  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a6zkyC  
\7e Pl,i  
　　对于任意非直角三角形,总有 )[]Lh"LY  
`\X23io,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  - C"6_  
Ehyn o0,  
　　证:  *}fHo1  
m+`>~(im  
　　A+B=π-C x K/%B9;  
tr-]`U6|  
　　tan(A+B)=tan(π-C) _.)l#}HJ  
bvJyGm~7  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) +^CEous  
`P+ok)'viH  
　　整理可得 sbS&,OBj  
fgl<fmH  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x|byWbL.=  
'CHY|<V9  
　　得证  h$`f'c7  
%qf0>ta`t  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ySw's/_  
vK$-!v   
其他非重点三角函数 |9R[lm5u  
/.{~2N-:  
　　csc(a) = 1/sin(a) }1e <V  
b0 4PBo}  
　　sec(a) = 1/cos(a) mXyT  
T +&f3r^  
　　 eV6bNT<bT  
aV+_ ='r\  
双曲函数 +38;?G%9  
Z(-&k*r  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 DDOO?ZTlX  
k{ S<4?W  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 <"5~*z  
-K,KG{u"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z&G8}`#d  
46qOi  
　　公式一： Ft'V6>l1U  
C*9QA/dU4  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,2kZ,8g  
k)][QzT  
　　sin（2kπ＋α）= sinα @8mX bD<  
7KmJ1v  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5O7$e%si9  
eg<JZoD  
　　tan（kπ＋α）= tanα xLh  
:c KZ  
　　cot（kπ＋α）= cotα yqK/ys)l2?  
%9 =\ @).  
　　公式二： D 3NL7,G  
5,FJ?=Bg  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： xs[bNt=_K  
o@^YK\  
　　sin（π＋α）= -sinα a[ mDb#=  
n:.sdyr  
　　cos（π＋α）= -cosα v&MSVfW7J  
Rtz\lGY  
　　tan（π＋α）= tanα N)`z@3  
K r C5  
　　cot（π＋α）= cotα R. 9zCi  
M y"ql  
　　公式三： ,) r:  
<]k}pE;  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9Z !F[  
iw}6r!T|  
　　sin（-α）= -sinα A(] ZfR  
dj<,| 8  
　　cos（-α）= cosα |[kFS  
JyW\})$  
　　tan（-α）= -tanα f,< pK =  
,fPHk.<  
　　cot（-α）= -cotα Z tHR.~e  
Z(u9|R  
　　公式四： :Cn`ki a  
 +;j>$  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~[`x43g\  
T^*5Z5Qn  
　　sin（π-α）= sinα V:fNoKaCT  
GSK4gg-H  
　　cos（π-α）= -cosα +Fr E/[  
lP%dMV E&  
　　tan（π-α）= -tanα pKk@-y$H  
#hyRiY6=%  
　　cot（π-α）= -cotα 7_Z_b a93  
CE3^kS"  
　　公式五： C !@gx;  
'GF'V7&3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： y~<>+  
%Oi0b;9]  
　　sin（2π-α）= -sinα DpO e0?  
h++J7e  
　　cos（2π-α）= cosα AV{n<<W,0  
* me\=gc  
　　tan（2π-α）= -tanα [\d"{A"  
<(?eq93V=  
　　cot（2π-α）= -cotα U;qY.@d\  
A=k)I.  
　　公式六： co)DB7a]  
&ygKbI_  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ECHY!xM_  
A Q78Z$  
　　sin（π/2+α）= cosα NY!rf5"7  
3OvzSTv_  
　　cos（π/2+α）= -sinα [I,0f@VI7  
N]Lb@D?f  
　　tan（π/2+α）= -cotα (5w[.cy2.  
uqU{-hUV  
　　cot（π/2+α）= -tanα [y;"JV0  
VC+Wq]Bc  
　　sin（π/2-α）= cosα u[<J M$ }  
M3+s(-  
　　cos（π/2-α）= sinα }KE|4X_  
e0dR|=m4-  
　　tan（π/2-α）= cotα :D y>p1`8'  
fm-1y  
　　cot（π/2-α）= tanα 4t 6dfp  
Wu`bFu6U  
　　sin（3π/2+α）= -cosα aT>|t}  
e*agP Lw  
　　cos（3π/2+α）= sinα 1&DvO{Cw  
u%K:p!(>*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ,bW~[4t  
Px2FhI+ 1  
　　cot（3π/2+α）= -tanα hJmTKKWM(X  
#LP :2N  
　　sin（3π/2-α）= -cosα zY"rK-f  
R=,z=s[%Bj  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }\I8=vS  
W4^2*=c6  
　　tan（3π/2-α）= cotα 6~1|9oC#w  
q5Mj~phixB  
　　cot（3π/2-α）= tanα \t%>T d?w  
 9+[#PUm  
　　(以上k∈Z) `"PP  
d+_L0vU|  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 a)"/<W+H#  
:MtiO6S@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = |DciOh8,#  
+y>t{vUb  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } tMst;l KW_  
l;5 bR5lJ2  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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